Por ejemplo, con una lógica similar a la que usé en el ítem anterior, voy a proponer a este como uno de los subespacios:

$S_1 = \langle (1,1,0,0),(0,1,0,0) \rangle$ ¿Por qué elegí ese segundo generador? Como te decía, usé la misma lógica que en el ítem anterior, elegí uno lo más obvio posible, donde me es muy fácil darme cuenta que esos generadores son LI con el vector $\vec{w}$. Fijate que si te armás la matriz con los generadores de $S_1$ y el vector $w$ puestos en filas, ni siquiera hay que hacer ninguna cuenta, ya está escalonada y no tenés ninguna fila toda de ceros. 

Con la misma idea, puedo proponer también este otro subespacio:

$S_2 = \langle (1,1,0,0),(0,0,0,1) \rangle$

Si acomodas los generadores de $S_1$ y al vector $w$ en filas en una matriz, a lo sumo depende cómo los ordenes vas a tener que intercambiar dos filas y listo, ya va a estar escalonada, ves enseguida que son LI. 

👉 Para seguir pensando y consolidando todo lo que sabemos: Fijate que $S_1$ y $S_2$ tienen la misma dimensión, sin embargo, efectivamente son subespacios distintos. ¿Cómo me doy cuenta? Por ejemplo, porque fijate el generador $(0,0,0,1)$ de $S_2$ no pertenece a $S_1$ (ves enseguida que son LI, te armás la matriz y ya está escalonada sin ninguna fila toda de ceros) 

Por último, dejo para el final el más fácil, propongo el subespacio más simple de todos que cumple lo pedido, es el subespacio generado únicamente por $\vec{v}$.

Estos tres subespacios que propuse, $S_1$, $S_2$ y $S_3$, son tres subespacios distintos de $\mathbb{R}^3$ que cumplen lo pedido por el enunciado.